弾道シミュレーター for Education

このシミュレーターは、物理学の基本原理に基づいて設計されています。以下に、その主要な物理的根拠を説明します。

このシミュレーターは、ニュートンの運動方程式

$$\vec{F} = m \vec{a}$$

に基づいて、物体に働く力を時々刻々計算し、その運動を数値的に追跡しています。

1. 基本モデル：

重力のみを考える理想的な放物運動では、運動方程式 弾道運動の基本は、位置ベクトル$\vec{r} = (x, y)$と速度ベクトル$\vec{v} = (v_x, v_y)$の時間変化を記述する運動方程式です。重力のみを考える理想的な放物運動では、

$$ \begin{cases} \frac{dv_x}{dt} = 0 \\ \frac{dv_y}{dt} = -g \end{cases} $$

となり、解析的に次の式が得られます。

$$ \begin{cases} x(t) = v_0 \cos\theta \, t \\ y(t) = v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases} $$

しかし実際の弾道は空気抵抗を無視できません。このシミュレーターでは空気抵抗を速度の二乗に比例する形で導入しています。

2. 空気抵抗のモデル

空気抵抗（抗力）は次式で表されます：

$$ \vec{F_d} = -\frac{1}{2} \rho C_d A v^2 \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$

ここで、

1. $\rho$：空気密度（高度によって変化）
2. $C_d$：抵抗係数（球形の場合約0.47）
3. $A = \pi r^2$：断面積
4. $\vec{v}$：速度ベクトル

これにより、空気抵抗の大きさと方向が速度に依存して決まります。 したがって、運動方程式は次のように書けます：

$$ \begin{cases} m \frac{dv_x}{dt} = -\frac{1}{2}\rho C_d A v v_x \\ m \frac{dv_y}{dt} = -\frac{1}{2}\rho C_d A v v_y - m g \end{cases} $$

3. 空気密度の高度依存（国際標準大気モデル）

高度によって空気の密度が変化するため、より現実的な軌道を得るために国際標準大気モデルを用いています。

$$ \begin{cases} T = T_0 - L h \\ P = P_0 \left(1 - \frac{L h}{T_0}\right)^{\frac{g}{R L}} \\ \rho = \frac{P}{R T} \end{cases} $$

ここで、$T_0 = 288.15\,\mathrm{K}, P_0 = 101325\,\mathrm{Pa}, L = 0.0065\,\mathrm{K/m}, R = 287.058\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}$です。

これにより、高高度では空気密度が低下し、抗力が小さくなることが反映されています。

4. 数値シミュレーション手法

解析的に解けないため、このプログラムでは時間を微小ステップ$\Delta t$に分割し、逐次的に更新する方法をとっています。

$$ \begin{cases} v_x(t+\Delta t) = v_x(t) + \frac{F_x}{m} \Delta t \\ v_y(t+\Delta t) = v_y(t) + \frac{F_y}{m} \Delta t \\ x(t+\Delta t) = x(t) + v_x(t) \Delta t \\ y(t+\Delta t) = y(t) + v_y(t) \Delta t \end{cases} $$

これはオイラー法（Euler method）と呼ばれる基本的な数値積分法です。計算精度を上げるために、ユーザーが 「計算精度の項目」 で$\Delta t$を変更できます。

5. 妥当性と教育的意義

このシミュレーターは、

1. ニュートンの運動方程式を忠実に用い、
2. 空気抵抗の物理モデルを導入し、
3. 高度による空気密度変化を考慮し、
4. 時間発展を数値的に積み上げる

という、実際の物理計算シミュレーションと同じ原理で構築されています。 そのため、解析式では扱えない「空気抵抗による射程短縮」や「高高度での到達距離増加」などの効果を視覚的に確認できます。

🧭 教材としてのポイント

1. 仰角・初速・質量・半径を自由に変えて、弾道の変化を観察できる。
2. 空気抵抗をON/OFFして、理想運動との違いを比較できる。
3. 高度ごとの空気密度変化により、「空気が薄いと遠くに飛ぶ」現象を実感できる。
4. 数値積分を通じて「シミュレーションと解析の違い」を学ぶ導入教材として適する。